Как выиграть в «Монополию»


Вероятности в игре «Монополия»

Недавно я увидел статью в журнале Scientific American (Апрель 1996 года с дополнением, вышедшим в августе 1996 и апреле 1996), в которой обсуждалась вероятность попадания на различные поля игры «Монополия». Использовалась упрощенная модель игры без учета действия полей «Шанс» и «Общественная казна», а также различных путей попадания в тюрьму.

Я был настолько заинтригован этой задачей, что решил вычислить вероятность попадания на различные поля, учитывая все правила игры. Я столкнулся с интересной задачей и в результате пришел к правильным решениям, которые вы сможете найти здесь вместе  с другими полезными производными данными. Так получилось, что я не увлекаюсь игрой в Монополию, но меня всегда интересовали задачи, связанные с вероятностью и статистикой, такой оказалась и эта задача.

Вначале я написал программу на языке C, которая имитировала игрока, кидающего кости и двигающегося по игровой доске огромное количество раз.  Она включала все правила попадания в тюрьму и карты «Шанс» и «Общественная козна». Хотя уже это дало хорошие приблизительные результаты, я решил, что хочу написать другую программу, которая вычислила бы точную вероятность, используя матрицу Маркова, это тот метод, который был описан в упрощенной форме в журнале Scientific American. Я использовал расширенную версию этой программы, чтобы разработать эту страницу.

Я выяснил, что необходимо смоделировать две разные стратегии. Когда ты находишься в тюрьме из нее можно сразу выбраться, заплатив 50$ или используя карту «Бесплатно освободиться из тюрьмы», но можно и подождать пока выпадет «дубль» или, пропустив три хода заплатить за выход. В самом начале игры лучше как можно раньше выйти из тюрьмы, чтобы иметь больше возможностей купить собственность. Когда вся собственность уже куплена, становится выгоднее оставаться в тюрьме как можно дольше, чтобы не попасть на поле противника. Выбор стратегии изменяет вероятность для всех полей игровой доски, так как чем больше времени ты проводишь в тюрьме, тем меньше раз попадешь на другие поля. Я вычислил вероятность для обоих случаев и включил ее сюда. Я сравнил результаты моей моделирующей программы и программы Маркова, и результаты получились достаточно близкими, это позволило мне думать, что результаты можно считать достоверными.

В процессе вычислений я столкнулся с одной интересной сложностью. Подсчитывая вероятность по матрице Маркова нужно  предполагать, что последние два раза при бросании костей мог выпасть «дубль» (после трех дублей игрок отправляется в тюрьму). Вначале я учитывал эту возможность как 1/36, но на практике этот показатель различается для каждого поля и не для каждого поля он такой высокий. Я использовал свою моделирующую программу, чтобы определить эмпирическую вероятность для каждого поля и затем использовал эти значения в моей матричной программе Маркова. Я смоделировал 32 миллиарда бросков, чтобы получить эти подсчеты, так что их можно считать достоверными, и какие-либо отклонения от этих цифр абсолютно незначительны. Интересно, что вероятность выпадения двух дублей в предыдущие два хода мало различается на некоторых полях для двух тюремных стратегий. Кроме того, среднее значение броска костей при попадании на коммунальные услуги немного ниже или выше 7, в зависимости от типа коммунальных услуг и тюремной стратегии, которая влияет на стоимость аренды.

Как только я закончил составлять эту web страницу, я понял, что есть более эффективный метод вычисления вероятности. Было бы лучше, если бы я создал расширенную матрицу Маркова с тремя вариантами условий попадания на поле. Первый вариант, когда игроку на предыдущих двух ходах не выпадал «дубль», второй вариант, когда уже выпал один «дубль» и третий – выпало два «дубля». Эта расширенная матрица могла бы гарантировать, что будет выведена точная вероятность и моделирование не понадобится вовсе. Если бы у меня было время и возможность переделать все таким способом, то было бы лучше.

Долгосрочные вероятности для каждого поля

Внизу расположены две таблицы вероятностей попадания на все поля игры, выраженные в процентах. Я разделил вероятность попадания в тюрьму и нахождения в тюрьме. Номер, присвоенный каждому отдельному полю это процентный шанс попадания игрока на это поле после одного бросания костей, в длительный период. Например, в среднем, 3.18% бросания костей дадут результат попадания на не тюремное поле, "Площадь Маяковского". Конечно, для одинарного бросания костей, начиная на конкретном поле, шансы будут достаточно различаться, но на длительном периоде они будут средними. Внизу страницы я поместил матрицу, содержащую вероятность попадания на любое поле после одного бросания костей, начиная с каждого поля игровой доски. Она очень громоздкая, но если понадобится, она есть.

Первая колонка обозначает среднюю вероятность попадания на каждое поле, когда игрок пользуется стратегией выхода из тюрьмы сразу после попадания в нее. Третья колонка для игрока, который остается в тюрьме так долго, насколько это возможно. Вторая и четвертая колонки содержат категорию поля по величине от наименея посещаемого до наиболее посещаемого. Отметьте высокую категорию полей 2, 4, 6, 8, 10 и 12 напротив полей «Тюрьма», это связано с возросшей вероятностью выхода из тюрьмы с помощью «дубля». В этой таблице и во всех последующих я разбил поле «тюрьма» на два: «visiting jail»  - в центре таблицы и «in jail» - в самом низу таблицы.

Заметьте, что цифры, указанные в таблице показывают процентный шанс того, что вы остановитесь на этом поле, а не то, что пройдете через него. Это учитывается, если вы перенаправляетесь на другое поле из-за карты из стопки «Шанс» или по какой-либо другой причине. Например, вы не можете остановиться на поле «Идите в тюрьму», так как если вы на нем остановитесь, то вы сразу пойдете в тюрьму и это надо учитывать. Вот почему вероятность попадания на поля «Шанс» и «Общественная казна» низкая.

Долгосрочные вероятности для каждого поля в игре «Монополия»

ПолеВероятность % (Выход из тюрьмы)КатегорияВероятность % (Оставаться в тюрьме)Категория
Вперед3.096132.91433
Житная улица2.1314362.007336
Общественная казна1.8849371.775037
Нагатинская улица2.1624352.036935
Подоходный налог2.3285282.193427
Рижская железная дорога2.963162.80108
Варшавское шоссе2.2621322.131732
Шанс0.8650400.815240
Улица Огарева2.3210292.187428
Первая Парковая улица2.3003302.168030
Тюрьма2.2695312.139231
Улица Полянка2.7017152.556015
Электростанция2.6040202.614013
Улица Сретенка2.3721262.174129
Ростовская набережная2.4649242.425522
Курская железная дорога2.920082.635411
Рязанский проспект2.7924122.68029
Общественная казна2.5945212.295724
Улица Вавилова2.935672.82106
Рублевское шоссе3.085242.81187
Бесплатная стоянка2.883692.82535
Улица Тверская2.8358102.614312
Шанс1.0480381.044838
Пушкинская улица2.7357132.567114
Площадь Маяковского3.185822.99292
Казанская железная дорога3.065952.89304
Улица Грузинский Вал2.7072142.537016
Новинский бульвар2.6789162.519118
Водопровод2.8074112.650710
Смоленская площадь2.5861222.438121
Отправляйтесь в тюрьму0.0000410.000041
Улица Щусева2.6774172.523617
Гоголевский бульвар2.6252192.472120
Общественная казна2.3661272.227626
Кутузовский проспект2.5006232.353123
Ленинградская железная дорога2.4326252.290625
Шанс0.8669390.815839
Улица Малая Бронная2.1864332.059533
Уплатите сверхналог2.1799342.052134
Улица Арбат2.6260182.483219
Отправляйтесь в тюрьму3.949919.45691

Ожидаемый доход за ход для каждой собственности

Я использовал информацию выше (из таблицы), чтобы вывести другие заключения относительно игры, а именно, сколько денег можно в среднем получить за каждую собственность, и еще важнее, сколько бросков костей должен сделать в среднем противник, чтобы возвратить деньги, потраченные на покупку собственности, домов или отелей.

Вначале, я сделал две таблицы, содержащие средний доход противника после бросания костей за каждую собственность, включая железную дорогу и коммунальные услуги. Первая таблица предполагает короткое нахождение в тюрьме, вторая таблица – долгое нахождение в тюрьме. Доход с железной дороги включает сверхдоход с двух карт «Шанс», которые увеличивают ренту от ж/д в два раза.

Ожидаемый доход за ход противника при быстром выходе из тюрьмы

ПолеЕдиничнаяЦелая группа1 дом2 дома3 дома4 домаОтель
Житная улица0.04260.08530.21310.63941.91823.41025.3284
Нагатинская улица0.08650.17300.43251.29743.89236.91979.7308
Варшавское шоссе0.13570.27150.67862.03596.10789.048612.4418
Улица Огарева0.13930.27850.69632.08896.26669.283912.7653
Первая Парковая улица0.18400.36810.92012.30036.901010.351513.8020
Улица Полянка0.27020.54031.35084.052512.157516.885420.2624
Улица Сретенка0.23720.47441.18603.558110.674414.825617.7907
Ростовская набережная0.29580.59161.47894.436812.324517.254222.1840
Рязанский проспект0.39090.78191.95475.584815.358320.943126.5279
Улица Вавилова0.41100.82202.05495.871216.145722.016927.8880
Рублевское шоссе0.49360.98732.46816.787418.511024.681430.8517
Улица Тверская0.51051.02092.55237.089619.850924.813729.7764
Пушкинская улица0.49240.98482.46216.839219.149823.937328.7248
Площадь Маяковского0.63721.27433.18589.557323.893229.468335.0434
Улица Грузинский Вал0.59561.19122.97798.933821.657626.395231.1328
Новинский бульвар0.58931.17872.94678.840221.430926.118930.8069
Смоленская площадь0.62071.24133.10339.309821.981426.507031.0326
Улица Щусева0.69611.39223.480610.441724.096329.451134.1365
Гоголевский бульвар0.68251.36513.412710.238223.626628.876933.4710
Кутузовский проспект0.70021.40043.750911.252825.006330.007535.0088
Улица Малая Бронная0.76521.53053.826210.932024.050428.423232.7960
Улица Арбат1.31302.62605.251915.755836.763544.641452.5193
Поле1 ЖД2 ЖД3 ЖД4 ЖД
Рижская железная дорога0.81301.62613.25216.5043
Курская железная дорога0.80211.60413.20836.4165
Казанская железная дорога0.85381.70763.41526.8304
Ленинградская железная дорога0.60821.21632.43264.8653
Поле1 коммун. пр.2 коммун. пр.
Электростанция0.71891.7972
Водопровод0.79391.9849

Ожидаемый доход за ход противника при длительном выходе из тюрьмы

ПолеЕдиничнаяЦелая группа1 дом2 дома3 дома4 домаОтель
Житная улица0.04010.08030.20070.60221.80663.21175.0183
Нагатинская улица0.08150.16300.40741.22213.66646.51819.1661
Варшавское шоссе0.12790.25580.63951.91855.75568.526811.7243
Улица Огарева0.13120.26250.65621.96865.90588.749412.0304
Первая Парковая улица0.17340.34690.86722.16806.50419.756113.0082
Улица Полянка0.25560.51121.27803.833911.501815.974719.1697
Улица Сретенка0.21740.43481.08703.26119.783313.587916.3054
Ростовская набережная0.29110.58211.45534.366012.127716.978821.8298
Рязанский проспект0.37520.75051.87615.360414.741120.101525.4619
Улица Вавилова0.39490.78991.97475.642115.515721.157826.7999
Рублевское шоссе0.44990.89982.24946.185916.870722.494228.1178
Улица Тверская0.47060.94112.35286.535618.299822.874827.4497
Пушкинская улица0.46210.92412.31046.417717.969622.462026.9544
Площадь Маяковского0.59861.19722.99298.978822.447027.684632.9223
Улица Грузинский Вал0.55811.11632.79078.372120.296024.735729.1754
Новинский бульвар0.55421.10842.77108.313120.153024.561528.9700
Смоленская площадь0.58521.17032.92588.777320.724124.990929.2576
Улица Щусева0.65611.31233.28079.842222.712727.760032.1764
Гоголевский бульвар0.64271.28553.21379.641222.249027.193331.5195
Кутузовский проспект0.65891.31773.529610.588923.530828.237032.9431
Улица Малая Бронная0.72081.44173.604210.297622.654726.773830.8928
Улица Арбат1.24162.48324.966414.899234.764742.214349.6639
Поле1 ЖД2 ЖД3 ЖД4 ЖД
Рижская железная дорога0.76821.53653.07306.1459
Курская железная дорога0.72681.45352.90705.8140
Казанская железная дорога0.81031.62073.24136.4827
Ленинградская железная дорога0.57261.14532.29064.5811
Поле1 коммун. пр.2 коммун. пр.
Электростанция0.69031.7258
Водопровод0.75071.8768

Ожидаемый доход за ход для других полей

Следующая таблица содержит возможный доход и расход от полей без собственности. Стоимость прохода через или остановки на поле «Вперед», была рассчитана с помощью моделирования, тогда как остальные были вычислены абсолютно точно. Доход, связанный с карточками «Шанс» и «Общественная казна» немного больше, так как я не смог включить карты при которых с Вас берут за починку домиков и отлей, так как стоимость зависит от количества зданий, которые вы имеете. Я также не включил карту «Общественная козна», где вы собираете по 50$ с каждого игрока и карту «Шанс», где вы платите каждому 50$. Я принял во внимание, что попадание на поле Income Tax всегда приводит к выплате 200$.

Средний доход за ход с других полей

ПолеДоход за ход (Выход из тюрьмы)Доход за ход (Оставаться в тюрьме)
Вперед 33.780731.8657
Общественная казна 1.4669 1.3496
Подоходный налог-4.6571-4.3869
Шанс 0.8572 0.8250
Уплатите сверхналог-1.6349-1.5391
Всего29.812828.1144

Окупаемость покупок

Следующие две таблицы показывают среднее число ходов противника необходимых для того, чтобы вернуть стоимость последнего улучшения собственности или стоимость  самой собственности. Эти цифры полезны для того, чтобы решить какое улучшение нужно сделать первым. Две группы чисел в этой таблице немного неясные. Я учел, что когда кто-то останавливается на коммунальных услугах, ход имеет обычное распределение вероятности, которое не всегда правильное, но должно быть очень близко к точному значению. Кроме того, когда я даю число ходов для окупаемости железной дороги, я усредняю выигрыш от других железных дорого, которыми может владеть игрок. Например, если вы покупаете «Курскую железную дорогу» и у вас уже есть другая ж/д ваша окупаемость будет быстрее если вторая ж/д  это «Казанская железная дорога», чем если это «Ленинградская железная дорога». Таким образом, я вывел среднее число дохода с других ж/д.

Эти числа были подсчитаны путем деления стоимости всей приобретенной собственности на сумму средней ренты из верхней таблицы. Заметьте, что числа в этой таблице были округлены до десятичных дробей с четырьмя знаками, но те, что использовались для вычислений в следующей таблице, не округлялись. Другими словами, если вы решите подсчитать эти значения, используя числа из верхней таблицы, вы не получите точно такие же ответы. Еще раз, я включил сюда таблицы для предпочтительно короткого пребывания в тюрьме и долгого пребывания в тюрьме.

Ожидаемое число ходов противника для возмещения дополнительных затрат (короткое пребывание в тюрьме)

ПолеЕдиничнаяПоследняя собственность в группе1-й дом2-й дом3-й дом4-й домОтель
Житная улица1407.5414349.3427390.9837117.295139.098433.512926.0656
Нагатинская улица693.6732278.2678192.687057.806119.268716.516017.7865
Варшавское шоссе736.7646168.1402122.794136.838212.279417.002314.7353
Улица Огарева718.0923167.1483119.682035.904611.968216.571414.3618
Первая Парковая улица652.0786186.613590.566536.226610.868014.490614.4906
Улица Полянка518.2000130.4354123.381037.014312.338121.151029.6114
Улица Сретенка590.1964134.5674140.522942.156914.052324.089633.7255
Ростовская набережная540.9301145.5937112.693833.808112.678020.284920.2849
Рязанский проспект460.4308106.730885.265027.547110.231817.905617.9056
Улица Вавилова437.9757105.477381.106626.20379.732817.032417.0324
Рублевское шоссе405.1640111.783467.527323.15228.529816.206616.2066
Улица Тверская430.9902102.302697.952333.058911.754330.225330.2253
Пушкинская улица446.7690103.1675101.538434.269212.184631.331931.3319
Площадь Маяковского376.6757105.393478.474123.542210.463226.905426.9054
Улица Грузинский Вал436.5461108.280583.951225.185411.788931.661631.6616
Новинский бульвар441.1645108.562484.839325.451811.913631.996531.9965
Смоленская площадь451.1382115.405080.560424.168111.837433.144833.1448
Улица Щусева430.9623108.109995.769428.730814.647137.350142.6858
Гоголевский бульвар439.5314108.641297.673629.302114.938338.092743.5345
Кутузовский проспект457.0280115.148885.085026.660014.541839.990039.9900
Улица Малая Бронная457.3734123.089587.118728.146115.245845.737345.7373
Улица Арбат304.6501117.952376.162519.04069.520325.387525.3875
Поле1-я ЖД2-я ЖД3-я ЖД4-я ЖД
Рижская железная дорога245.992684.007531.893712.8532
Курская железная дорога249.356284.657432.043112.8895
Казанская железная дорога234.245981.676231.350112.7198
Ленинградская железная дорога328.861298.073534.937513.5677
Поле1-е коммун. пр.2-е коммун. пр.
Электростанция208.660350.1991
Водопровод188.929248.9687

Ожидаемое число ходов противника для возмещения дополнительных затрат (длительное пребывание в тюрьме)

ПолеЕдиничнаяПоследняя собственность в группе1-й дом2-й дом3-й дом4-й домОтель
Житная улица1494.5282370.8991415.1467124.544041.514735.584027.6764
Нагатинская улица736.4116295.4227204.558861.367620.455917.533618.8823
Варшавское шоссе781.8495178.4163130.308339.092513.030818.042715.6370
Улица Огарева761.9564177.3596126.992738.097812.699317.583615.2391
Первая Парковая улица691.8736198.010996.093638.437411.531215.375015.3750
Улица Полянка547.7404137.3005130.414439.124313.041422.356831.2995
Улица Сретенка643.9566142.6429153.323045.996915.332326.283936.7975
Ростовская набережная549.7065151.6400114.522234.356712.883720.614020.6140
Рязанский проспект479.7082112.832488.834828.700510.660218.655318.6553
Улица Вавилова455.7593111.454984.399927.267710.128017.724017.7240
Рублевское шоссе444.5587119.764674.093125.40349.359117.782317.7823
Улица Тверская467.5215109.9014106.254935.861012.750632.787232.7872
Пушкинская улица476.1134110.3696108.207636.520112.984933.389833.3898
Площадь Маяковского400.9446112.685983.530125.059011.137328.638928.6389
Улица Грузинский Вал465.8340115.266789.583526.875012.579833.785833.7858
Новинский бульвар469.1373115.467990.218727.065612.669034.025334.0253
Смоленская площадь478.5081122.664485.447925.634412.555635.155735.1557
Улица Щусева457.2156114.7708101.603530.481015.539439.625345.2861
Гоголевский бульвар466.7445115.3620103.721031.116315.863240.451246.2299
Кутузовский проспект485.6852122.295190.420128.331615.453642.497542.4975
Улица Малая Бронная485.5496130.438292.485629.880016.185048.555048.5550
Улица Арбат322.1658124.842980.541420.135410.067726.847126.8471
Поле1-я ЖД2-я ЖД3-я ЖД4-я ЖД
Рижская железная дорога260.334689.296633.979313.7128
Курская железная дорога275.195792.141134.630213.8707
Казанская железная дорога246.812486.584733.343413.5564
Ленинградская железная дорога349.2577104.508037.283214.4902
Поле1-е коммун. пр.2-е коммун. пр.
Электростанция217.284452.5958
Водопровод199.806851.5053

Ипотечная окупаемость и потери

Также полезно знать за какое время окупаются закладные. Например, если вы владеете всей красной собственностью и не имеете там домов, то наверняка хотели бы знать какую собственность из них заложить, чтобы претерпеть как можно меньшие потери. Ниже расположены две таблицы (для короткого и долгого пребывания в тюрьме), содержащие предполагаемое  среднее количество ходов противника, необходимых чтобы потерять стоимость залога каждой собственности и среднее количество ходов, чтобы выкупить заложенную собственность. Я включил сюда стоимость для различных ситуаций владения собственностью. Расчеты были произведены тем же способом, что и в предыдущих таблицах.

Ожидаемое число ходов противника для потери или возмещения займов (короткое пребывание в тюрьме)

ПолеЗалог Единичной СобственностиЗалог Категории СобственностиВыкуп Единичной СобственностиВыкуп Категории Собственности
Житная улица703.7707351.8853774.1478387.0739
Нагатинская улица346.8366173.4183381.5203190.7601
Варшавское шоссе368.3823184.1911405.2205202.6103
Улица Огарева359.0461179.5231394.9508197.4754
Первая Парковая улица326.0393163.0197358.6433179.3216
Улица Полянка259.1000129.5500285.0100142.5050
Улица Сретенка295.0982147.5491324.6080162.3040
Ростовская набережная270.4650135.2325297.5115148.7558
Рязанский проспект230.2154115.1077253.2370126.6185
Улица Вавилова218.9878109.4939240.8866120.4433
Рублевское шоссе202.5820101.2910222.8402111.4201
Улица Тверская215.4951107.7476237.0446118.5223
Пушкинская улица223.3845111.6923245.7230122.8615
Площадь Маяковского188.337894.1689207.1716103.5858
Улица Грузинский Вал218.2731109.1365240.1004120.0502
Новинский бульвар220.5823110.2911242.6405121.3202
Смоленская площадь225.5691112.7845248.1260124.0630
Улица Щусева215.4811107.7406237.0292118.5146
Гоголевский бульвар219.7657109.8829241.7423120.8711
Кутузовский проспект228.5140114.2570251.3654125.6827
Улица Малая Бронная228.6867114.3434250.9020125.4510
Улица Арбат152.325076.1625167.557683.7788
ПолеЗалог Одной ЖДЗалог Одной из 2 ЖДЗалог Одной из 3 ЖДЗалог Одной из 4 ЖДВыкуп Одной ЖДВыкуп Одной из 2 ЖДВыкуп Одной из 3 ЖДВыкуп Одной из 4 ЖД
Рижская железная дорога122.996361.498230.749115.3745135.296067.648033.824016.9120
Курская железная дорога124.678162.339031.169515.5848137.145968.572934.286517.1432
Казанская железная дорога117.123058.561529.280714.6404128.835364.417632.208816.1044
Ленинградская железная дорога164.430682.215341.107620.5538180.873790.436845.218422.6092
ПолеЗалог Одного коммун. пр.Залог Одного из 2 коммун. пр.Выкуп Одного коммун. пр.Выкуп Одного из 2 коммун. пр.
Электростанция104.330141.7321114.067645.6271
Водопровод94.464637.7858103.281341.3125

Ожидаемое число ходов противника для потери или возмещения займов (длительное пребывание в тюрьме)

ПолеЗалог Единичной СобственностиЗалог Категории СобственностиВыкуп Единичной СобственностиВыкуп Категории Собственности
Житная улица747.2641373.6320821.9905410.9953
Нагатинская улица368.2058184.1029405.0264202.5132
Варшавское шоссе390.9248195.4624430.0172215.0086
Улица Огарева380.9782190.4891419.0760209.5380
Первая Парковая улица345.9368172.9684380.5305190.2652
Улица Полянка273.8702136.9351301.2572150.6286
Улица Сретенка321.9783160.9891354.1761177.0881
Ростовская набережная274.8533137.4266302.3386151.1693
Рязанский проспект239.8541119.9270263.8395131.9198
Улица Вавилова227.8797113.9398250.6676125.3338
Рублевское шоссе222.2793111.1397244.5073122.2536
Улица Тверская233.7608116.8804257.1368128.5684
Пушкинская улица238.0567119.0284261.8624130.9312
Площадь Маяковского200.4723100.2361220.5195110.2598
Улица Грузинский Вал232.9170116.4585256.2087128.1043
Новинский бульвар234.5687117.2843258.0255129.0128
Смоленская площадь239.2540119.6270263.1795131.5897
Улица Щусева228.6078114.3039251.4686125.7343
Гоголевский бульвар233.3722116.6861256.7095128.3547
Кутузовский проспект242.8426121.4213267.1269133.5634
Улица Малая Бронная242.7748121.3874266.3586133.1793
Улица Арбат161.082980.5414177.191288.5956
ПолеЗалог Одной ЖДЗалог Одной из 2 ЖДЗалог Одной из 3 ЖДЗалог Одной из 4 ЖДВыкуп Одной ЖДВыкуп Одной из 2 ЖДВыкуп Одной из 3 ЖДВыкуп Одной из 4 ЖД
Рижская железная дорога130.167365.083632.541816.2709143.184071.592035.796017.8980
Курская железная дорога137.597868.798934.399517.1997151.357675.678837.839418.9197
Казанская железная дорога123.406261.703130.851515.4258135.746867.873433.936716.9684
Ленинградская железная дорога174.628887.314443.657221.8286192.091796.045948.022924.0115
ПолеЗалог Одного коммун. пр.Залог Одного из 2 коммун. пр.Выкуп Одного коммун. пр.Выкуп Одного из 2 коммун. пр.
Электростанция108.642243.4569118.782147.5128
Водопровод99.903439.9614109.227743.6911

Выводы

Теперь, когда у нас есть все эти данные, как можно воспользоваться ими при игре в Монополию? Должно быть возможным свести все эти предполагаемые доходы с собственности в практически завершенной игре и предположить, кто будет победителем. Конечно, здесь не учитывается масса факторов в конкретной игре, таких как остаток наличных средств, переговоры и удача. Капризная натура краткосрочной возможности гарантирует, что никогда не знаешь, что произойдет в ближайшие несколько раундов.

Возможно, также сделать несколько общих наблюдений относительно собственности. Железные дороги это лучшее капиталовложение, особенно если владеешь ими целиком. Лучшая рентабельность инвестиций прослеживается от строительства третьего дома «Рублевское шоссе».  На самом деле третий дом окупается быстрее всего в любом случае, в плане любой собственности. Кроме Тюрьмы другим наиболее посещаемым полем является «Площадь Маяковского», и поэтому отель на этой улице принесет больше дохода, чем на «Улице Арбат». При этом самое плохое вложение, это вложение в «Житную улицу», не имея «Нагатинскую». Это не значит, что его не нужно покупать, просто не ожидайте, что оно принесет вам большую прибыль, если там не будет построено зданий. Собственность между полями «Тюрьма» и «Идите в тюрьму»  чаще всего пропускаются из-за прыжка поля «Идите в тюрьму». С оранжевого поля большой доход, если на нем есть дома.

Помимо всего прочего, следует заметить, что данные приведенные здесь, это средний показатель. Их можно использовать как общие направления, но особые ситуации необходимо рассматривать на практике. Например, если у вас есть возможность поставить дом на «Площади Маяковского» или «Смоленской площади», в общем следует ставить его на «Площади Маяковского». Если фишка вашего противника находится на «Пушкинской улице», тогда на следующий ход он с вероятность 14% попадет на «Смоленскую площадь», но нет никаких шансов, что он попадет на «Площадь Маяковского». Учитывая это, лучше поставить новый дом на «Смоленской площади» в этой конкретной ситуации.

Матрица Маркова

Здесь две довольно большие матрицы Маркова. Их цель  - показать, с какой вероятностью вы попадете на любое поле игровой доски, находясь на любом из полей. Например, цифры в строке «Нагатинская улица» показывают, с какой вероятностью вы попадете на любое из полей после одного бросания костей, если начнете с поля «Нагатинская улица». Также колонка под названием  «Нагатинская улица» показывает, с какой вероятностью вы попадете на это поле, если начнете с любого другого (из крайней левой колонки). Заметьте, что эти цифры учитывают возможность того, что в два предыдущих хода у вас выпал «дубль». Так как эта таблица очень большая, я скопировал название столбцов и строк несколько раз внутри таблицы, для упрощения ее использования.

Индивидуальные вероятности полей при коротком пребывании в тюрьме (в процентах)

Индивидуальные вероятности полей при длительном пребывании в тюрьме (в процентах)